11.4.1. Catmull-Clark 细分#
Catmull-Clark 细分 [1] 是最常用的几何表面细分方法之一，通过将表面的多边形细分为更小的多边形，用相邻的顶点重新定位先前的顶点，对三维多边形网格表面起到平滑效果。这种方法采用网格中包含的每一个原始多边形，并将多边形细分为四边形，基于平均值构建新的顶点，并根据周围环境调整原始多边形的先前顶点。
Catmull-Clark 细分在 1978 年由 Edwin Catmull 和 Jim Clark 提出，之后在各种渲染场景中都可以发挥作用，从学术界到游戏再到动画电影都有其身影，也因此获得了 2006 年奥斯卡技术成就奖。
增设面点，增设边点，更新顶点。
形成新的边和面。
图 11.11 单轮 Catmull-Clark 细分 [1]。#
图 11.12 通过不断地进行 Catmull-Clark 细分，原本有棱有角的几何表面被细分成平滑的曲面。#
Catmull-Clark 算法每一次细分由增设面点（face point）、增设边点（edge point）、更新顶点(vertex point)、形成新的边和面四个步骤组成，如 图 11.11 所示，下面我们依次介绍。
增设面点：对多面体的每个面片计算一个面点，这个面点是这个多边形面上所有顶点坐标的平均值。
增设边点：对多面体的每条边计算一个边点，找出该条边的两个端点和共享该条边的两个面的面点，对这四个点的坐标取平均。
更新顶点：对于多边形原有的每个顶点 \(v\)，使用：
所有包含顶点 \(v\) 的边的中点（注意不是上述步骤中的边点）的平均值 \(R\)
所有包含顶点 \(v\) 的多边形面片的面点的平均值 \(F\)
以及顶点 \(v\) 的原有值的加权平均值
来调整其三维坐标。加权平均遵循以下公式：
\[\frac{F+2R+(n-3)v}{n}\]
其中 \(n\) 是面点的数量。
形成新的边和面：将每个面点连接到所有构成了它所在的原始面的边的边点，将每个新顶点连接到所有连接着它原始点的边的边点。新的面就由这些边包围而成。
可以证明，经过一轮细分后，不论原多边形网格是何结构，新得到的多边形网格将只由四边形构成。如 图 11.12 所示，在不断细分的过程中，表面会不断趋向平滑和圆润。