函数的基本概念

函数的基本概念

函数是描述变量之间依赖关系的基本数学模型，是高等数学的核心概念之一。

理解这里的内容，而不是背诵。另外，我们会在接下来的练习中强化。

函数的定义

函数的定义设有两个变量 xxx 和 yyy，如果对于变量 xxx 在某个范围 DDD 内的每一个值，变量 yyy 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 yyy 是 xxx 的函数，记作 y=f(x)y = f(x)y=f(x)。其中，xxx 称为自变量，yyy 称为因变量，DDD 称为函数的定义域。

函数的"函"字是什么意思？在汉语中，"函"字还可以组成哪些词汇？“函”字是一个象形字，在古文字中，它的形状像是一个装东西的匣子或盒子。在古汉语中，“函”字最初指的是”匣子”、“盒子”的意思，后来引申为”包含”、“容纳”的含义。在数学中，函数（function）的”函”字体现了这种”包含”和”对应”的关系——一个函数就像一个盒子，对于每个输入值（自变量），都能从中”取出”唯一确定的输出值（因变量）。

在汉语中，“函”字还可以组成以下词汇：

信函：指书信，体现了”函”作为容器的含义（信件装在信封里）

函数：数学中的对应关系，体现了输入和输出的对应

公函：官方往来的信件

函件：泛指信件、文件

函授：通过书信进行教学的方式

函谷关：古代关隘名称（函谷指山谷像匣子一样）

这些词汇都体现了”函”字”包含”、“容纳”的核心含义，而数学中的”函数”则进一步强调了这种一对一的对应关系。

函数的表示方法

函数有多种表示方法，每种方法都有其适用场景：

1. 解析法（公式法）

用一个数学式子来表示函数关系，如 y=x2+1y = x^2 + 1y=x2+1。这是最常用的方法。

优点：

精确表达函数关系

便于进行数学运算

可以清楚地看出函数的性质

缺点：

某些复杂函数难以用简单公式表示

对于分段函数表达不够直观

2. 表格法

将自变量和对应的函数值列成一个表格。

x-10123f(x)41014

通过表格法，我们可以清晰地看到每个自变量对应的函数值，便于分析函数的变化规律。

优点：

直观显示具体的函数值

便于查找特定点的函数值

适合处理离散数据

缺点：

只能表示有限个点的函数值

无法看出函数的整体性质

表格过大时不便使用

3. 图像法

用坐标平面上的曲线来表示函数关系。

优点：

直观显示函数的整体形状

便于观察函数的性质（单调性、极值等）

适合分析函数的几何特征

缺点：

精确度有限

难以进行精确的数值计算

复杂函数图像可能难以绘制

函数的定义域

函数的定义域是指自变量的取值范围，即函数有意义的所有自变量值的集合。确定函数的定义域是研究函数的第一步，也是非常重要的一步。

定义域的基本概念

函数的定义域定义域（Domain） 是指使函数有意义的所有自变量值的集合，通常用 D(f)D(f)D(f) 或 DDD 表示。

对于函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，定义域就是所有能使函数表达式有意义的 xxx 值的集合。

求函数定义域的方法

1. 分式函数的定义域

对于分式函数，分母不能为零。

例1：求函数 f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x-2}f(x)=x−21​ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要分母 x−2≠0x - 2 \neq 0x−2=0，即 x≠2x \neq 2x=2。

因此，定义域为 (−∞,2)∪(2,+∞)(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)(−∞,2)∪(2,+∞)。

2. 根式函数的定义域

对于偶次根式，被开方数必须非负。

例2：求函数 f(x)=x−1f(x) = \sqrt{x-1}f(x)=x−1​ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 x−1≥0x - 1 \geq 0x−1≥0，即 x≥1x \geq 1x≥1。

因此，定义域为 [1,+∞)[1, +\infty)[1,+∞)。

例3：求函数 f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4-x^2}f(x)=4−x2​ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 4−x2≥04 - x^2 \geq 04−x2≥0，即 x2≤4x^2 \leq 4x2≤4。

解不等式：−2≤x≤2-2 \leq x \leq 2−2≤x≤2。

因此，定义域为 [−2,2][-2, 2][−2,2]。

3. 对数函数的定义域

对于对数函数，真数必须大于零。

例4：求函数 f(x)=log⁡2(x+3)f(x) = \log_2(x+3)f(x)=log2​(x+3) 的定义域。

解：要使函数有意义，需要 x+3>0x + 3 > 0x+3>0，即 x>−3x > -3x>−3。

因此，定义域为 (−3,+∞)(-3, +\infty)(−3,+∞)。

4. 复合条件的定义域

当函数包含多个限制条件时，需要同时满足所有条件。

例5：求函数 f(x)=x−1x−3f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3}f(x)=x−3x−1​​ 的定义域。

解：要使函数有意义，需要同时满足：

x−1≥0x - 1 \geq 0x−1≥0（根式的条件）

x−3≠0x - 3 \neq 0x−3=0（分式的条件）

即：

x≥1x \geq 1x≥1

x≠3x \neq 3x=3

因此，定义域为 [1,3)∪(3,+∞)[1, 3) \cup (3, +\infty)[1,3)∪(3,+∞)。

定义域的表示方法

定义域可以用以下几种方式表示：

区间表示法：[a,b][a, b][a,b]、(a,b)(a, b)(a,b)、[a,+∞)[a, +\infty)[a,+∞) 等

集合表示法：{x∣x≥1,x≠3}\{x | x \geq 1, x \neq 3\}{x∣x≥1,x=3}

不等式表示法：x≥1x \geq 1x≥1 且 x≠3x \neq 3x=3

常见函数的定义域

函数类型一般形式定义域条件多项式函数f(x)=anxn+⋯+a1x+a0f(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0f(x)=an​xn+⋯+a1​x+a0​R\mathbb{R}R（全体实数）分式函数f(x)=P(x)Q(x)f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}f(x)=Q(x)P(x)​Q(x)≠0Q(x) \neq 0Q(x)=0偶次根式函数f(x)=g(x)2nf(x) = \sqrt[2n]{g(x)}f(x)=2ng(x)​g(x)≥0g(x) \geq 0g(x)≥0奇次根式函数f(x)=g(x)2n+1f(x) = \sqrt[2n+1]{g(x)}f(x)=2n+1g(x)​R\mathbb{R}R对数函数f(x)=log⁡ag(x)f(x) = \log_a g(x)f(x)=loga​g(x)g(x)>0g(x) > 0g(x)>0，a>0a > 0a>0 且 a≠1a \neq 1a=1

函数的值域

函数的值域是指函数所有可能取到的函数值的集合，即因变量的取值范围。求函数的值域是函数研究中的重要内容，通常需要在确定定义域的基础上进行。

值域的基本概念

函数的值域值域（Range） 是指函数所有可能的函数值组成的集合，通常用 R(f)R(f)R(f) 或 RRR 表示。

对于函数 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，值域就是所有可能的 yyy 值的集合。

求函数值域的方法

1. 直接法（观察法）

对于简单的函数，可以通过观察函数的性质直接得出值域。

例1：求函数 f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2（x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R）的值域。

解：因为 x2≥0x^2 \geq 0x2≥0 对所有实数 xxx 成立，且当 xxx 取遍所有实数时，x2x^2x2 可以取到所有非负实数。

因此，值域为 [0,+∞)[0, +\infty)[0,+∞)。

2. 配方法

对于二次函数，通过配方可以找到函数的最值，从而确定值域。

例2：求函数 f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5f(x)=x2−4x+5（x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R）的值域。

解：将函数配方：

f(x)=x2−4x+5=(x−2)2+1f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1f(x)=x2−4x+5=(x−2)2+1

因为 (x−2)2≥0(x-2)^2 \geq 0(x−2)2≥0，所以 f(x)=(x−2)2+1≥1f(x) = (x-2)^2 + 1 \geq 1f(x)=(x−2)2+1≥1。

当 x=2x = 2x=2 时，f(x)f(x)f(x) 取得最小值 1。

因此，值域为 [1,+∞)[1, +\infty)[1,+∞)。

3. 换元法（反函数法）

通过设 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，解出 x=g(y)x = g(y)x=g(y)，然后根据 xxx 的定义域确定 yyy 的范围。

例3：求函数 f(x)=x+1x−2f(x) = \frac{x+1}{x-2}f(x)=x−2x+1​（x≠2x \neq 2x=2）的值域。

解：设 y=x+1x−2y = \frac{x+1}{x-2}y=x−2x+1​，解关于 xxx 的方程：

y(x−2)=x+1y(x-2) = x+1y(x−2)=x+1

yx−2y=x+1yx - 2y = x + 1yx−2y=x+1

yx−x=2y+1yx - x = 2y + 1yx−x=2y+1

x(y−1)=2y+1x(y-1) = 2y + 1x(y−1)=2y+1

当 y≠1y \neq 1y=1 时，x=2y+1y−1x = \frac{2y+1}{y-1}x=y−12y+1​。

由于原函数的定义域要求 x≠2x \neq 2x=2，所以：

2y+1y−1≠2\frac{2y+1}{y-1} \neq 2y−12y+1​=2

2y+1≠2(y−1)2y + 1 \neq 2(y-1)2y+1=2(y−1)

2y+1≠2y−22y + 1 \neq 2y - 22y+1=2y−2

1≠−21 \neq -21=−2

这个不等式恒成立，所以 yyy 可以取除 1 以外的所有实数。

因此，值域为 (−∞,1)∪(1,+∞)(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)(−∞,1)∪(1,+∞)。

4. 单调性法

利用函数的单调性确定函数在给定区间上的最值，从而求出值域。

例4：求函数 f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1f(x)=2x−1（x∈[1,3]x \in [1, 3]x∈[1,3]）的值域。

解：函数 f(x)=2x−1f(x) = 2x - 1f(x)=2x−1 是递增函数。

在区间 [1,3][1, 3][1,3] 上：

当 x=1x = 1x=1 时，f(1)=2×1−1=1f(1) = 2 \times 1 - 1 = 1f(1)=2×1−1=1

当 x=3x = 3x=3 时，f(3)=2×3−1=5f(3) = 2 \times 3 - 1 = 5f(3)=2×3−1=5

因此，值域为 [1,5][1, 5][1,5]。

5. 图像法

通过观察函数图像确定函数值的范围。

例5：求函数 f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4-x^2}f(x)=4−x2​ 的值域。

解：首先确定定义域：4−x2≥04 - x^2 \geq 04−x2≥0，即 x2≤4x^2 \leq 4x2≤4，所以 x∈[−2,2]x \in [-2, 2]x∈[−2,2]。

因为 0≤4−x2≤40 \leq 4 - x^2 \leq 40≤4−x2≤4（当 x∈[−2,2]x \in [-2, 2]x∈[−2,2] 时），所以：

0≤4−x2≤20 \leq \sqrt{4-x^2} \leq 20≤4−x2​≤2

当 x=±2x = \pm 2x=±2 时，f(x)=0f(x) = 0f(x)=0

当 x=0x = 0x=0 时，f(x)=2f(x) = 2f(x)=2

因此，值域为 [0,2][0, 2][0,2]。

常见函数的值域

函数类型一般形式值域一次函数f(x)=ax+bf(x) = ax + bf(x)=ax+b（a≠0a \neq 0a=0）R\mathbb{R}R二次函数f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c（a>0a > 0a>0）[4ac−b24a,+∞)[\frac{4ac-b^2}{4a}, +\infty)[4a4ac−b2​,+∞)二次函数f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + cf(x)=ax2+bx+c（a<0a < 0a<0）(−∞,4ac−b24a](-\infty, \frac{4ac-b^2}{4a}](−∞,4a4ac−b2​]反比例函数f(x)=kxf(x) = \frac{k}{x}f(x)=xk​（k≠0k \neq 0k=0）(−∞,0)∪(0,+∞)(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)(−∞,0)∪(0,+∞)指数函数f(x)=axf(x) = a^xf(x)=ax（a>1a > 1a>1）(0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞)对数函数f(x)=log⁡axf(x) = \log_a xf(x)=loga​x（a>1a > 1a>1）R\mathbb{R}R

求值域的注意事项

先确定定义域：值域的求解必须在定义域的基础上进行

选择合适的方法：根据函数的特点选择最适合的求值域方法

注意端点值：对于有界函数，要特别注意端点处的函数值

验证结果：求出值域后要验证是否所有值都能取到

练习题

练习 1

判断下列关系是否为函数：

y=±xy = \pm \sqrt{x}y=±x​

y=x2y = x^2y=x2

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1

参考答案分析：

y=±xy = \pm \sqrt{x}y=±x​ 不是函数，因为对于 x>0x > 0x>0，y 有两个值（正负根号），违反了函数的单值性。

y=x2y = x^2y=x2 是函数，因为对于每个实数 x，都有唯一的 y 值与之对应。

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1x2+y2=1 不是函数，因为对于 −1

答案：只有 y=x2y = x^2y=x2 是函数。

练习 2

求函数 f(x)=1x−2+x+1f(x) = \frac{1}{x-2} + \sqrt{x+1}f(x)=x−21​+x+1​ 的定义域。

参考答案解题思路：

需要分别考虑两个部分：

分式 1x−2\frac{1}{x-2}x−21​：分母不能为零

根式 x+1\sqrt{x+1}x+1​：被开方数必须大于等于零

详细步骤：

对于 1x−2\frac{1}{x-2}x−21​，要求 x−2≠0x-2 \neq 0x−2=0，即 x≠2x \neq 2x=2

对于 x+1\sqrt{x+1}x+1​，要求 x+1≥0x+1 \geq 0x+1≥0，即 x≥−1x \geq -1x≥−1

将两个条件联立：x≥−1x \geq -1x≥−1 且 x≠2x \neq 2x=2

答案：定义域为 [−1,2)∪(2,+∞)[-1, 2) \cup (2, +\infty)[−1,2)∪(2,+∞)

练习 3

已知函数 f(x)={x+1,x≤0x2,x>0f(x) = \begin{cases} x+1, & x \leq 0 \\ x^2, & x > 0 \end{cases}f(x)={x+1,x2,​x≤0x>0​，求 f(−2)f(-2)f(−2)、f(0)f(0)f(0) 和 f(3)f(3)f(3) 的值。

参考答案解题思路：

这是一个分段函数，需要根据自变量 x 的取值范围选择相应的函数表达式。

详细步骤：

对于 f(−2)f(-2)f(−2)：因为 −2≤0-2 \leq 0−2≤0，所以使用第一个表达式 f(x)=x+1f(x) = x+1f(x)=x+1

f(−2)=−2+1=−1f(-2) = -2 + 1 = -1f(−2)=−2+1=−1

对于 f(0)f(0)f(0)：因为 0≤00 \leq 00≤0，所以使用第一个表达式 f(x)=x+1f(x) = x+1f(x)=x+1

f(0)=0+1=1f(0) = 0 + 1 = 1f(0)=0+1=1

对于 f(3)f(3)f(3)：因为 3>03 > 03>0，所以使用第二个表达式 f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

f(3)=32=9f(3) = 3^2 = 9f(3)=32=9

答案：f(−2)=−1f(-2) = -1f(−2)=−1，f(0)=1f(0) = 1f(0)=1，f(3)=9f(3) = 9f(3)=9

练习 4

某商品的销售量 QQQ（件）与价格 PPP（元）之间存在函数关系 Q=200−10PQ = 200 - 10PQ=200−10P，其中价格 PPP 的取值范围是 [5,15][5, 15][5,15] 元。

求该函数的定义域和值域

当价格为 8 元时，销售量是多少？

若要使销售量不少于 100 件，价格应控制在什么范围内？

参考答案解题思路：

这是一道应用题，需要结合实际意义理解函数的定义域和值域，并进行相关计算。

详细步骤：

定义域和值域：

定义域已给出：P∈[5,15]P \in [5, 15]P∈[5,15]

当 P=5P = 5P=5 时，Q=200−10×5=150Q = 200 - 10 \times 5 = 150Q=200−10×5=150

当 P=15P = 15P=15 时，Q=200−10×15=50Q = 200 - 10 \times 15 = 50Q=200−10×15=50

因为函数 Q=200−10PQ = 200 - 10PQ=200−10P 在定义域上单调递减，所以值域为 [50,150][50, 150][50,150]

当价格为 8 元时的销售量：

Q=200−10×8=200−80=120Q = 200 - 10 \times 8 = 200 - 80 = 120Q=200−10×8=200−80=120（件）

销售量不少于 100 件的价格范围：

需要求解不等式：200−10P≥100200 - 10P \geq 100200−10P≥100

200−100≥10P200 - 100 \geq 10P200−100≥10P

100≥10P100 \geq 10P100≥10P

P≤10P \leq 10P≤10

结合原定义域 [5,15][5, 15][5,15]，得到价格应控制在 [5,10][5, 10][5,10] 元范围内。

答案：

定义域：[5,15][5, 15][5,15]，值域：[50,150][50, 150][50,150]

当价格为 8 元时，销售量是 120 件

价格应控制在 [5,10][5, 10][5,10] 元范围内

练习 5

求下列函数的定义域：

f(x)=log⁡2(3x−6)f(x) = \log_2(3x - 6)f(x)=log2​(3x−6)

g(x)=x−13g(x) = \sqrt[3]{x - 1}g(x)=3x−1​

h(x)=x+2x2−9h(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 9}h(x)=x2−9x+2​​

参考答案解题思路：

分别根据对数函数、奇次根式函数、复合函数的定义域要求进行求解。

详细步骤：

对于 f(x)=log⁡2(3x−6)f(x) = \log_2(3x - 6)f(x)=log2​(3x−6)：

对数函数要求真数大于 0

3x−6>03x - 6 > 03x−6>0

3x>63x > 63x>6

x>2x > 2x>2

定义域：(2,+∞)(2, +\infty)(2,+∞)

对于 g(x)=x−13g(x) = \sqrt[3]{x - 1}g(x)=3x−1​：

奇次根式函数对被开方数没有限制

定义域：R\mathbb{R}R

对于 h(x)=x+2x2−9h(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 9}h(x)=x2−9x+2​​：

根式要求：x+2≥0x + 2 \geq 0x+2≥0，即 x≥−2x \geq -2x≥−2

分母要求：x2−9≠0x^2 - 9 \neq 0x2−9=0，即 x≠±3x \neq \pm 3x=±3

联立条件：x≥−2x \geq -2x≥−2 且 x≠3x \neq 3x=3（x=−3x = -3x=−3 已被 x≥−2x \geq -2x≥−2 排除）

定义域：[−2,3)∪(3,+∞)[-2, 3) \cup (3, +\infty)[−2,3)∪(3,+∞)

答案：

(2,+∞)(2, +\infty)(2,+∞)

R\mathbb{R}R

[−2,3)∪(3,+∞)[-2, 3) \cup (3, +\infty)[−2,3)∪(3,+∞)

练习 6

用配方法求函数 f(x)=−x2+4x−1f(x) = -x^2 + 4x - 1f(x)=−x2+4x−1 的值域。

参考答案解题思路：

对二次函数进行配方，找到顶点，确定最值，从而求出值域。

详细步骤：

将函数配方：

f(x)=−x2+4x−1f(x) = -x^2 + 4x - 1f(x)=−x2+4x−1

=−(x2−4x)−1= -(x^2 - 4x) - 1=−(x2−4x)−1

=−(x2−4x+4−4)−1= -(x^2 - 4x + 4 - 4) - 1=−(x2−4x+4−4)−1

=−(x−2)2+4−1= -(x - 2)^2 + 4 - 1=−(x−2)2+4−1

=−(x−2)2+3= -(x - 2)^2 + 3=−(x−2)2+3

分析：

因为 (x−2)2≥0(x - 2)^2 \geq 0(x−2)2≥0，所以 −(x−2)2≤0-(x - 2)^2 \leq 0−(x−2)2≤0

因此 f(x)=−(x−2)2+3≤3f(x) = -(x - 2)^2 + 3 \leq 3f(x)=−(x−2)2+3≤3

当 x=2x = 2x=2 时，f(x)f(x)f(x) 取得最大值 3

当 xxx 趋向于 ±∞\pm\infty±∞ 时，f(x)f(x)f(x) 趋向于 −∞-\infty−∞

答案：值域为 (−∞,3](-\infty, 3](−∞,3]

练习 7

用换元法求函数 f(x)=2x−1x+3f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}f(x)=x+32x−1​（x≠−3x \neq -3x=−3）的值域。

参考答案解题思路：

设 y=f(x)y = f(x)y=f(x)，解出 xxx 关于 yyy 的表达式，然后根据 xxx 的定义域确定 yyy 的范围。

详细步骤：

设 y=2x−1x+3y = \frac{2x - 1}{x + 3}y=x+32x−1​，解关于 xxx 的方程：

y(x+3)=2x−1y(x + 3) = 2x - 1y(x+3)=2x−1

yx+3y=2x−1yx + 3y = 2x - 1yx+3y=2x−1

yx−2x=−1−3yyx - 2x = -1 - 3yyx−2x=−1−3y

x(y−2)=−1−3yx(y - 2) = -1 - 3yx(y−2)=−1−3y

当 y≠2y \neq 2y=2 时：

x=−1−3yy−2=1+3y2−yx = \frac{-1 - 3y}{y - 2} = \frac{1 + 3y}{2 - y}x=y−2−1−3y​=2−y1+3y​

由于原函数的定义域要求 x≠−3x \neq -3x=−3，所以：

1+3y2−y≠−3\frac{1 + 3y}{2 - y} \neq -32−y1+3y​=−3

解这个不等式：

1+3y≠−3(2−y)1 + 3y \neq -3(2 - y)1+3y=−3(2−y)

1+3y≠−6+3y1 + 3y \neq -6 + 3y1+3y=−6+3y

1≠−61 \neq -61=−6

这个不等式恒成立，所以 yyy 可以取除 2 以外的所有实数。

验证 y=2y = 2y=2 是否可能：

当 y=2y = 2y=2 时，原方程变为 x(2−2)=−1−3×2x(2 - 2) = -1 - 3 \times 2x(2−2)=−1−3×2，即 0=−70 = -70=−7，无解。

答案：值域为 (−∞,2)∪(2,+∞)(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)(−∞,2)∪(2,+∞)

练习 8

已知函数的图像如下表所示，请写出该函数的解析式，并求其定义域和值域。

xxx-2-1012yyy41014

参考答案解题思路：

观察表格中 xxx 和 yyy 的对应关系，寻找规律，确定函数的解析式。

详细步骤：

观察数据规律：

当 x=0x = 0x=0 时，y=0y = 0y=0

当 x=±1x = \pm 1x=±1 时，y=1y = 1y=1

当 x=±2x = \pm 2x=±2 时，y=4y = 4y=4

发现 y=x2y = x^2y=x2，验证：

(−2)2=4(-2)^2 = 4(−2)2=4 ✓

(−1)2=1(-1)^2 = 1(−1)2=1 ✓

02=00^2 = 002=0 ✓

12=11^2 = 112=1 ✓

22=42^2 = 422=4 ✓

根据表格数据：

定义域：{−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\}{−2,−1,0,1,2}

值域：{0,1,4}\{0, 1, 4\}{0,1,4}

答案：

解析式：f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

定义域：{−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\}{−2,−1,0,1,2}

值域：{0,1,4}\{0, 1, 4\}{0,1,4}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义f(x)f(x)f(x)数学符号f of x函数记号，表示以 xxx 为自变量的函数DDD数学符号D函数的定义域D(f)D(f)D(f)数学符号D of f函数 fff 的定义域RRR数学符号R函数的值域R(f)R(f)R(f)数学符号R of f函数 fff 的值域R\mathbb{R}R数学符号双线体 R（Real numbers）表示实数集，所有实数的集合[a,b][a, b][a,b]数学符号闭区间包含端点的区间记号(a,b)(a, b)(a,b)数学符号开区间不包含端点的区间记号[a,b)[a, b)[a,b)数学符号半开区间左闭右开区间记号(a,b](a, b](a,b]数学符号半开区间左开右闭区间记号(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)(−∞,+∞)数学符号无穷区间表示所有实数的区间记号∪\cup∪数学符号并集符号表示两个集合的并集x\sqrt{x}x​数学符号根号表示 xxx 的平方根xn\sqrt[n]{x}nx​数学符号n 次根号表示 xxx 的 nnn 次方根log⁡ax\log_a xloga​x数学符号对数表示以 aaa 为底 xxx 的对数

中英对照

中文术语英文术语音标说明函数function/ˈfʌŋkʃən/描述变量之间依赖关系的数学模型，记作 y=f(x)y = f(x)y=f(x)自变量independent variable/ɪndɪˈpendənt ˈveəriəbl/函数中的输入变量，通常用 xxx 表示因变量dependent variable/dɪˈpendənt ˈveəriəbl/函数中的输出变量，通常用 yyy 表示定义域domain/dəʊˈmeɪn/自变量的取值范围值域range/reɪndʒ/函数值的取值范围解析法analytical method/ænəˈlɪtɪkəl ˈmeθəd/用数学公式表示函数的方法图像法graphical method/ˈɡræfɪkəl ˈmeθəd/用坐标平面上的曲线表示函数的方法表格法tabular method/ˈtæbjələ ˈmeθəd/用表格表示函数的方法分式函数rational function/ˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/分子分母都是多项式的函数根式函数radical function/ˈrædɪkəl ˈfʌŋkʃən/含有根号的函数对数函数logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪðmɪk ˈfʌŋkʃən/以对数为基础的函数区间表示法interval notation/ˈɪntəvəl nəʊˈteɪʃən/用区间符号表示数集的方法集合表示法set notation/set nəʊˈteɪʃən/用集合符号表示数集的方法配方法completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/通过配方求二次函数值域的方法换元法substitution method/ˌsʌbstɪˈtjuːʃən ˈmeθəd/通过变量替换求函数值域的方法单调性monotonicity/ˌmɒnəʊtəˈnɪsɪti/函数在某区间内保持递增或递减的性质反函数法inverse function method/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃən ˈmeθəd/通过求反函数来确定值域的方法

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